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初中數(shù)學(xué)圓錐的體積知識點歸納
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圓錐的體積
一個圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的體積的1/3
根據(jù)圓柱體積公式V=Sh(V=πrh)，得出圓錐體積公式：V=1/3Sh
S是圓錐的底面積，h是圓錐的高，r是圓錐的底面半徑。
證明：
把圓錐沿高分成k分 每份高 h/k, (“/” 為“÷”)
第 n份半徑：n×r÷k (以下“×”改為“ * ”)
第 n份底面積：pi×nx2×rx2÷kx2
(“x”為…的…次方)
第 n份體積：pi×h×nx2×rx2÷kx3
總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3
1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6
∴
總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3
=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3
=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
∵ 當(dāng)n越來越大，總體積越接近于圓錐體積，1/k越接近于0
∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3
∵ V圓柱=pi*h*rx2
∴ V圓錐是與它等底等高的V圓柱體積的1/3
知識要領(lǐng)總結(jié)：一個圓錐所占空間的大小，叫做這個圓錐的體積。
【拓展】
一.圓柱
1、圓柱的形成：圓柱是以長方形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的;圓柱也可以由長方形卷曲而得到。
2、圓柱各部分的名稱：圓柱的的兩個圓面叫做底面(又分上底和下底);周圍的面叫做側(cè)面;兩個底面之間的距離叫做高(高有無數(shù)條他們的數(shù)值是相等的)。
3、圓柱的側(cè)面展開圖：
a 沿著高展開,展開圖形是長方形，長方形的長等于圓柱底面的周長，長方形的寬等于圓柱的高，當(dāng)?shù)酌嬷荛L和高相等時(h=2πR)，側(cè)面沿高展開后是一個正方形，展開圖形為正方形。
b. 不沿著高展開，展開圖形是平行四邊形或不規(guī)則圖形。
C.無論如何展開都得不到梯形.
側(cè)面積=底面周長×高 S側(cè)=Ch=πd×h =2πr×h
4、圓柱的表面積：圓柱表面的面積，叫做這個圓柱的表面積。
圓柱的表面積=2×底面積+側(cè)面積，即S表=S側(cè)+S底×2 = 2πr×h + 2×πr2
(實際中，使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時候，都要用進(jìn)一法)
圓柱的體積：圓柱所占空間的大小，叫做這個圓柱的體積。
圓柱切拼成近似的長方體，分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方體。長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。
長方體的體積=底面積×高
圓柱體積=底面積×高
V柱=S h =πr2 h
h =V柱÷S=V柱÷(πr2)
S=V柱÷h
5、.圓柱的切割：
a.橫切：切面是圓，表面積增加2倍底面積，即S增=2πr2
b.豎切(過直徑)：切面是長方形(如果h=2R，切面為正方形)，該長方形的長是圓柱的高，寬是圓柱的底面直徑，表面積增加兩個長方形的面積，即S增=4rh
考試常見題型：
a 已知圓柱的底面積和高，求圓柱的側(cè)面積，表面積，體積，底面周長
b已知圓柱的底面周長和高，求圓柱的側(cè)面積，表面積，體積，底面積
c已知圓柱的底面周長和體積，求圓柱的側(cè)面積，表面積，高，底面積
d已知圓柱的底面面積和高，求圓柱的側(cè)面積，表面積，體積
e已知圓柱的側(cè)面積和高，求圓柱的底面半徑，表面積，體積，底面積
以上幾種常見題型的解題方法，通常是求出圓柱的底面半徑和高，再根據(jù)圓柱的相關(guān)計算公式進(jìn)行計算。
常見的圓柱解決問題：
�、佟郝窓C壓過路面面積、煙囪、教學(xué)樓里的支撐柱、通風(fēng)管、出水管(求側(cè)面積);
�、�、壓路機壓過路面長度(求底面周長);
�、凇⑺拌F皮(求側(cè)面積和一個底面積);
�、荇~缸、廚師帽(求側(cè)面積和一個底面積);
V鋼管=(πR2﹣πr2)×h
二、圓錐
1、圓錐的形成：圓錐是以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的。圓錐也可以由扇形卷曲而得到。
2、圓錐各部分的名稱：
圓錐只有一個底面，底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面，把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。
從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高，圓錐只有一條高。(測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。)
3、圓錐的體積：
圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的三分之一
V錐= ×底面積×高= S h= πr2 h
圓錐的高=圓錐體積×3÷底面積 h =3 V錐÷S = 3 V錐÷(πr2)
圓錐的底面積=圓錐體積×3÷高 S= 3 V錐÷h
4.圓錐的切割：
a.橫切：切面是圓
b.豎切(過頂點和直徑)：切面是等腰三角形，該等腰三角形的高是圓錐的高，底是圓錐的底面直徑，表面積增加兩個等腰三角形的面積，即S增=2Rh
考試常見題型：
a 已知圓錐的底面積和高，求體積
b已知圓錐的底面周長和高，求圓錐的體積，底面積
c已知圓錐的底面周長和體積，求圓錐的高，底面積
以上幾種常見題型的解題方法，通常是求出圓錐的底面半徑和高，再根據(jù)圓柱的相關(guān)計算公式進(jìn)行計算。
三、圓柱和圓錐的關(guān)系
1.圓柱的特征：一個側(cè)面、兩個底面、無數(shù)條高且側(cè)面沿高展開圖是長形。
2.圓錐的特征：一個側(cè)面、一個底面、一個頂點、一條高且側(cè)面展開圖是扇形。
圓柱與圓錐等底等高，圓柱的體積是圓錐的3倍。
圓柱與圓錐等底等體積，圓錐的高是圓柱高的3倍。
圓柱與圓錐等高等體積，圓錐的底面積(注意：是底面積而不是底面半徑)是圓柱的3倍。
圓柱體積比等底等高圓錐體積多2倍。
圓錐體積比等底等高圓柱體積少。
(1)等底等高：V錐:V柱=1:3
(2)等底等體積：h錐:h柱=3:1
(3)等高等體積：S錐:S柱=3:1
題型總結(jié)：
高不變半徑擴(kuò)大縮小n倍，直徑、底面周長、側(cè)面積擴(kuò)大縮小n倍，底面積、體積擴(kuò)大縮小n2倍。
半徑不變高擴(kuò)大縮小n倍，側(cè)面積、體積擴(kuò)大縮小n倍
削成最大體積的問題：
正方體里削出最大的圓柱圓錐：圓柱圓錐的高和底面直徑等于正方體棱長
長方體里削出最大的圓柱圓錐：圓柱圓錐底面直徑等于寬(寬﹥高)圓柱圓錐高等于長方體高
浸水體積問題：水面上升部分的體積就是浸入水中物品的體積，等于盛水容積的底面積乘以上升的高度。
等體積轉(zhuǎn)換問題：一圓柱融化后做成圓錐，或圓柱中的溶液倒入圓錐，都是體積不變的問題，注意不要乘以1/3 。
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