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高中函數(shù)解題技巧
在高中生在做關(guān)于函數(shù)的題目時(shí)，需要進(jìn)行解題，那么都有哪些相關(guān)的解題技巧呢？下面是小編分享給大家的高中函數(shù)解題技巧，希望對(duì)大家有幫助。
一。觀察法
通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。
例1求函數(shù)y=3+√（2—3x） 的值域。
點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√（2—3x） 的值域。
解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√（2—3x）≥0，
故3+√（2—3x）≥3。
∴函數(shù)的知域?yàn)?。
點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。
本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。
練習(xí)：求函數(shù)y=[x]（0≤x≤5）的值域。（答案：值域?yàn)椋簕0，1，2，3，4，5｝）
二。反函數(shù)法
當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
例2求函數(shù)y=（x+1）/（x+2）的值域。
點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。
解：顯然函數(shù)y=（x+1）/（x+2）的反函數(shù)為：x=（1—2y）/（y—1），其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù)，故函數(shù)y的值域?yàn)閧y？y≠1，y∈R｝。
點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。
練習(xí)：求函數(shù)y=（10x+10—x）/（10x—10—x）的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)閧y？y<—1或y>1｝）
三。配方法
當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以利用配方法求函數(shù)值域
例3：求函數(shù)y=√（—x2+x+2）的值域。
點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。
解：由—x2+x+2≥0，可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[—1，2]。此時(shí)—x2+x+2=—（x—1/2）2+9/4∈[0，9/4]
∴0≤√—x2+x+2≤3/2，函數(shù)的值域是[0，3/2]
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。
練習(xí)：求函數(shù)y=2x—5+√15—4x的值域。（答案：值域?yàn)閧y？y≤3}）
四。判別式法
若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用判別式法求函數(shù)的值域。
例4求函數(shù)y=（2x2—2x+3）/（x2—x+1）的值域。
點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。
解：將上式化為（y—2）x2—（y—2）x+（y—3）=0 （*）
當(dāng)y≠2時(shí)，由Δ=（y—2）2—4（y—2）x+（y—3）≥0，解得：2
當(dāng)y=2時(shí)，方程（*）無解�！嗪瘮�(shù)的值域?yàn)?
點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F（x，y）=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±√（cx2+dx+e）的函數(shù)。
練習(xí)：求函數(shù)y=1/（2x2—3x+1）的值域。（答案：值域?yàn)閥≤—8或y>0）。
五。最值法
對(duì)于閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f（x），可求出y=f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)的極值，并與邊界值f（a）。f（b）作比較，求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù)y的值域。
例5已知（2x2—x—3）/（3x2+x+1）≤0，且滿足x+y=1，求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2—x—3≤0同解，解之得—1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1—x代入z=xy+3x中，得z=—x2+4x（—1≤x≤3/2），
∴z=—（x—2）2+4且x∈[—1，3/2]，函數(shù)z在區(qū)間[—1，3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。
當(dāng)x=—1時(shí)，z=—5;當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。
∴函數(shù)z的值域?yàn)閧z？—5≤z≤15/4｝。
點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。
練習(xí)：若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x—5的值域?yàn)?（ ）
A。（—∞，+∞） B。[—7，+∞] C。[0，+∞） D。[—5，+∞）
�。ù鸢福篋）。
六。圖象法
通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。
例6求函數(shù)y=？x+1？+√（x—2）2 的值域。
點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。
解：原函數(shù)化為 —2x+1 （x≤1）
y= 3 （—1
2x—1（x>2）
它的圖象如圖所示。
顯然函數(shù)值y≥3，所以，函數(shù)值域[3，+∞]。
點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象
求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。
求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。
七。單調(diào)法
利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。
例1求函數(shù)y=4x—√1—3x（x≤1/3）的值域。
點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g（x）= —√1—3x，y=f（x）+g（x），其定義域?yàn)閤≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。
解：設(shè)f（x）=4x，g（x）= —√1—3x ，（x≤1/3），易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f（x）+g（x）= 4x—√1—3x
在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3，因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閧yy≤4/3｝。
點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。
練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4—x 的值域。（答案：{yy≥3｝）
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