離散型隨機變量教案

離散型隨機變量教案

　　作為一名辛苦耕耘的教育工作者，通常需要用到教案來輔助教學，編寫教案有利于我們弄通教材內容，進而選擇科學、恰當的教學方法。教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的離散型隨機變量教案，歡迎大家分享。

離散型隨機變量教案1

　　一、教學內容解析

　　概率是研究隨機現(xiàn)象的數量規(guī)律的。認識隨機現(xiàn)象就是指：知道這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結果，以及每一個結果出現(xiàn)的概率。而對于給定的隨機現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結果。在數學上處理時，一個常用的、也很自然的做法就是用數來表示結果，即把隨機試驗的結果數量化，使得每個結果對應一個數，這樣就可以通過實數空間（定量的角度）來刻畫隨機現(xiàn)象，從而就可以利用數學工具，用數學分析的方法來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象。簡言之，隨機變量是連接隨機現(xiàn)象和實數空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關實數的數學工具來研究隨機現(xiàn)象的本質，從而可以建立起應用到不同領域的概率模型，這便是為什么要引入隨機變量的緣由。

　　隨機變量在概率統(tǒng)計研究中起著極其重要的作用，隨機變量是用來描述隨機現(xiàn)象的結果的一類特殊的變量，隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性，有關隨機變量的結論可以應用到具有不同背景的實際問題中。隨機變量就是建立了一個從隨機試驗結果的集合到實數集合的映射，這與函數概念在本質上（一種對應關系）是一致的，隨機試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域。

　　離散型隨機變量是最簡單的隨機變量，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系。本節(jié)課主要通過離散型隨機變量展示用實數空間刻畫隨機現(xiàn)象的方法。本節(jié)課的重點是認識離散型隨機變量的特征，了解其本質屬性，體會引入隨機變量的作用。

　　二、教學目標解析

　　1、在對具體實例的分析中，認識和體會隨機變量對刻畫隨機現(xiàn)象的重要性和建立隨機變量概念的必要性，并會恰當地定義隨機變量來描述所感興趣的隨機現(xiàn)象，能敘述隨機變量可能取的值及其所表示的隨機試驗的結果；

　　2、在列舉的隨機試驗中，通過對隨機變量取值類型的分辨，歸納和概括離散型隨機變量的特征，形成離散型隨機變量的概念，并會利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果；

　　3、在舉例、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)中經歷將隨機試驗結果數量化的過程，滲透將實際問題轉化為數學問題的思想方法，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識。

　　三、教學問題診斷分析

　　本節(jié)課學生學習的難點是對引入隨機變量目的與作用的認識，以及隨機變量和普通變量的本質區(qū)別。隨機變量這個概念其實早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺的“實際使用”，只是沒有明朗化。學生學習這一概念就是把這些“實際使用的”規(guī)則、程序、步驟等進一步加以明確。所以，教師的責任就是為學生建立隨機變量這個概念修通渠道�？赏ㄟ^學生熟悉的擲骰子的隨機試驗讓學生體會隨機變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會隨機變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗，其結果不具有數量性質，怎么讓學生自然地想到用數來表示其試驗結果，并且所用的數又盡量簡單，便于研究。教學中需多舉試驗結果本身已具有數值意義的實例，來發(fā)揮正遷移作用。通過多舉例讓學生理解：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數表示后，認識隨機現(xiàn)象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率。

　　另外，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系，從學習的認知方式看，下位學習依靠的主要是同化，上位學習依靠的主要是順應，上位學習一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認知結構中的有關內容而建立新的認知結構。因此，從這一角度來分析，學生對隨機變量概念的學習和真正理解比離散型隨機變量的學習要困難一些。故在隨機變量的教學中，要特別重視學生舉例，讓學生在充分的自主活動中體驗數學化的過程，體驗將隨機試驗結果數量化的過程，體會隨機變量對刻畫隨機現(xiàn)象的重要性和研究隨機現(xiàn)象的工具性作用，從而來把握隨機變量的內核。

　　四、教學支持條件分析

　　學生在必修3概率一章中學習過的隨機試驗、隨機事件、簡單的概率模型和必修1中學習過的變量、函數、映射等知識是學習、領悟和“接納”隨機變量概念的重要知識基礎，教學時應充分注意這一教學條件；另外，為更好地形成隨機變量和離散型隨機變量兩個概念，教學中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實例和問題，以留給學生更多的時間思考和概括。

　　五、教學過程設計

　　（一）教學基本流程

　�。ǘ�）教學過程

　　1、理解隨機變量概念

　　問題1：拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的結果有哪些？概率分別是多少？

　　[設計意圖]以學生熟悉的隨機試驗為例，在復習舊知中孕育新知。

　　[師生活動]畫表一，指出試驗結果分別有“1點的面朝上”、“2點的面朝上”、“3點的面朝上”、“4點的面朝上”、“5點的面朝上”、“6點的面朝上”，它們都是基本事件。為了研究這些事件，常常把它們分別與一個數字對應起來。比如，用數字1與“1點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，用數字2與“2點的面朝上”這個試驗結果（樣本點）對應，等等。師生共同填寫數字，形成表二。

　　引導學生分析，像這樣“用數字表示隨機試驗的結果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個變量。

　　[設計意圖] “用數字來表示隨機試驗的結果”實際上早已存在于學生的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實際使用”，如射擊比賽中會用“環(huán)數”去表示射擊成績，擲骰子時會用“點數”去表示擲出結果，抽獎時會先對獎券“編號”，隨機抽取一部分學生時會用“學號”去代替等等，只是沒有明朗化。因而，“用數字來表示隨機試驗的結果”可以通過教師有啟發(fā)地提問，有意義地講授進行，讓學生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數學是怎樣一步步研究現(xiàn)實世界的。

　　問題2：在這里（指著表二），每一個試驗結果用唯一確定的數字與它對應，這個對應關系是什么？

　　[設計意圖]建立一個從試驗結果的集合到實數集合的映射。讓學生感悟：一旦給出了隨機變量，即把每個結果都用一個數表示后，認識隨機現(xiàn)象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每一個值時的概率，從而感受把隨機試驗的結果數字化（成為實數）的必要性，體會引入隨機變量的必要性。同時讓學生感受概念的從無到有、自然形成的過程。

　　[師生活動]啟發(fā)誘導，引導學生發(fā)現(xiàn)在這里建立了一個從試驗結果的集合到實數集合的映射。形成下表三：拋擲一枚骰子

　　讓學生觀察、思考：剛才，用數字表示試驗結果的變量X，它根據什么在變化？讓學生發(fā)現(xiàn)它的取值隨試驗結果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的，這是個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在試驗之前不知道會出現(xiàn)哪個值（即它的取值依賴于試驗結果，因此取值具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定）。同時，教師指出：在這個試驗中，我們確定了一個對應關系（也即建立了一個試驗結果到實數的映射）使得每一個試驗結果（樣本點）都用一個確定的數字表示（即所有可能取值是明確的）。在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化。像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量。隨機變量常用字母表示。

　　問題3：隨機變量這個概念與我們曾經學過的函數概念有類似的地方嗎?

　　[設計意圖]引導學生與曾經學過的函數概念比較，從而加深對隨機變量概念的理解。

　　[師生活動]“類比”函數概念，領悟隨機變量和函數概念在本質上都是一種對應關系，都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結果映為實數，函數把實數映為實數，在這兩種映射之間，試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域。隨機變量的取值范圍我們稱為隨機變量的值域。如拋擲一枚骰子，隨機變量的值域為；

　　引導學生利用隨機變量表達一些事件，例如拋擲一枚骰子中，表示“1點的面朝上”；“3點的面朝上”可以用表示；表示“5點的面朝上”或“6點的面朝上”。

　　同時指出：通過映射把隨機試驗結果與實數進行對應，也就是，把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，這樣“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，即可把“對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究具體轉化為對隨機變量概率分布的研究”。這樣我們就可以借用有關實數的數學工具來研究隨機現(xiàn)象的本質了。

　　接著，進一步指出：在學習《數學（必修3）》時我們曾經學習過概率、方差等概念，學過簡單的概率模型，在今后的學習中，我們將利用隨機變量描述和分析某些隨機現(xiàn)象，進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決一些實際問題。（體現(xiàn)章引言）

　　2、對隨機變量的深刻認識(對對應思想——映射的體驗)

　　問題4：你能再舉些例子嗎？（請學生列舉隨機試驗，并將試驗結果數量化，不必寫出概率）

　　[設計意圖]讓學生參與舉例，體驗將實際問題數學化（把實際問題數學化是學習數學極其重要的數學方法）和將隨機試驗結果數量化的過程。其意義在于兩個方面:其一,學生通過尋找(尋找本身就是一個甄別隨機與非隨機的過程),選擇自己感興趣的隨機現(xiàn)象,并學會用隨機變量表示隨機事件;其二,在將試驗結果數量化的過程中體會隨機變量在研究隨機現(xiàn)象中的重要作用。同時進一步深刻理解隨機變量的概念,領悟隨機變量學習的重要性，進一步形成用隨機觀念觀察和分析問題的意識。

　　[師生活動]教師關注學生的舉例，關注其關鍵過程：隨機試驗中所有可能出現(xiàn)的結果有哪些？如何將試驗的結果數量化？要求學生畫表，體會映射的過程。教師給學生充分展示和交流所舉例子的時間。同時，教師也參與舉例（教材中有關于抽取產品、射擊、瀏覽某網頁等例子可以納入進來），深刻體會將實際問題（隨機現(xiàn)象）數學化（數字化）的過程，感受建立隨機變量概念的重要意義。

　　對學生列舉的試驗結果沒有數量標志的隨機事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗等，要引導學生分析比較，讓學生體會對于同一個隨機試驗，可以用不同的隨機變量來表示。但用哪兩個數字來表示，主要是要盡量簡單，合理，便于研究。如表四：拋擲一枚骰子

　　在學生舉例中學習如何用隨機變量去定義試驗結果沒有數量標志的隨機事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）。

　　問題5：任何隨機試驗的所有結果都可以用數字表示嗎？同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數字表示嗎？

　　[設計意圖]讓學生領悟任何隨機試驗的所有結果都可以用數字來表示（試驗結果不具有數量性質的可以通過賦值，將其數量化），同一個隨機試驗的結果，可以用不同的數字表示，表示的原則主要是有實際意義，簡單合理，便于研究。

　　3、形成離散型隨機變量概念

　　問題6：隨機變量的取值都是整數嗎？你能否舉個（些）例子，而隨機變量的取值不是整數呢？

　　[設計意圖]關注學生的舉例，借學生舉出的例子，引導分析數學化之后的隨機變量取值的集合的特征（一個新概念產生之后，我們應該端詳它一番），分辨隨機變量的類型，即某些隨機變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機變量的概念。如果學生列舉的都是離散型隨機變量，則教師可啟發(fā)點撥，啟發(fā)后引導學生再舉例，或給出以下問題7：

　　問題7：請仿照剛才的例子，分析下列隨機現(xiàn)象，隨機變量可以取哪些值？你能夠一個一個列出來嗎?

　�。�1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達該車站的`時刻是隨機的,他等車的時間；

　　（2）檢測一批燈泡（相同型號）的使用壽命。

　　[設計意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)這兩個試驗結果中，表示隨機事件的隨機變量的取值是一個區(qū)間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機變量的概念。同時明晰在隨機現(xiàn)象中隨機變量的取值類型是豐富多樣的，這也是對隨機變量概念（外延）的進一步認識。

　　問題8：如果我們僅僅關心“某人等車的時間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況，那該怎樣定義隨機變量呢?

　　[設計意圖]在研究隨機現(xiàn)象時，為研究方便，有時需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量。讓學生明白恰當定義隨機變量給我們研究問題帶來方便。問（2）讓學生選擇自己關心的問題來恰當定義隨機變量。

　　[師生活動]通過分析，讓學生明白，在研究隨機現(xiàn)象時，有時需要根據所關心的問題恰當地定義隨機變量。

　　4、練習反饋（見教科書第45頁）

　　下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機試驗的結果。

　�。�1）拋擲兩枚骰子,所得點數之和；

　�。�2）某足球隊在5次點球中射進的球數；

　�。�3）任意抽取一瓶某種標有2500ml的飲料,其實際量與規(guī)定量之差。

　　[設計意圖]在應用中鞏固離散型隨機變量的概念，并能熟練利用離散型隨機變量刻畫隨機試驗的結果。

　　5、小結回授

　　問題9：你能用自己的語言描述隨機變量和離散型隨機變量的定義及它們之間的區(qū)別嗎？（學生回答后，可以再問：你能簡單地說說引入隨機變量的好處嗎？）

　　[設計意圖]學生用自己的語言來概括本節(jié)課學到的知識，是一種“主動建構”，也真正體現(xiàn)知識學到了手。

　　[師生活動]引入隨機變量后，隨機試驗中我們感興趣的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來。認識隨機現(xiàn)象就變成認識這個隨機變量所有可能的取值和取每個值時的概率。也即把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，我們就可以借助于有關實數的數學工具來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象了。

　　六、目標檢測設計

　　人教A版教科書第49頁習題中A組,第1,2,3題。

　　教學反思對隨機變量概念學習的設計上，分兩步走：第一步是認識“用數字表示隨機試驗的結果”的量是一個變量，第二步是通過建立“一個從試驗結果的集合到實數集合的映射”認識到在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化，即這是一個特殊的變量，與隨機試驗的結果有關，在此基礎上學習隨機變量概念，并理解隨機變量的特征：它的取值依賴于試驗結果，具有隨機性，即在試驗之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的。進一步，如何讓學生深刻認識和理解“隨機變量”這一概念？原教學設計采用讓學生舉例的方式，在學生的活動中來完成對“隨機變量”概念的理解，這一設計思路得到同行肯定。事實上，要使學生真正理解數學知識，必須要有他們身體力行的實踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對數學概念、原理的本質的領悟。此處安排學生舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀察學生是否領會把隨機試驗結果數學化的思想，以及怎樣把隨機試驗結果數學化（尤其是試驗的結果不具有數量性質的隨機現(xiàn)象）；其二，體會引入隨機變量概念后，隨機試驗中的事件就可以通過隨機變量的取值表達出來，“隨機試驗結果的集合到對應概率集合的映射”就可以用“隨機變量的取值集合到對應概率集合的映射”來表示，（即研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律就可以轉化為研究隨機變量的概率分布）。

離散型隨機變量教案2

　　●教學目標

　　(一)教學知識點

　　1.離散型隨機變量的方差(Dξ)的概念，標準差(σξ)的概念.

　　2.離散型隨機變量η=aξ+b(其中ξ為隨機變量)的方差D(aξ+b)=a2·Dξ的推導.

　　3.服從二項分布的離散型隨機變量ξ(即ξ~B(n,p))的方差Dξ=npq.

　　(二)能力訓練要求

　　1.會根據離散型隨機變量的分布列求出方差值、標準差(σξ)的值.

　　2.會求隨機變量η=aξ+b的方差值(D(aξ+b)=a2Dξ),ση的值和服從二項分布的隨機變量ξ~B(n,p)的方差值、標準差σξ的值的計算.

　　3.能根據隨機變量的方差值、期望值等求出某個變量值時的概率，也就是逆向思維的運用.

　　4.會運用期望和方差的計算公式、方法解決生產生活中實際問題.

　　(三)德育滲透目標

　　1.通過實例和對初中知識的回顧培養(yǎng)學生的直覺思維中的類比能力，培養(yǎng)學生的辯證思維能力.

　　2.培養(yǎng)學生要學會觀察問題、分析問題和解決問題的能力，學會用數學眼光分析自己周邊的事物，抽象概括為數學模型，要體現(xiàn)生活與數學的關系.

　　3.培養(yǎng)學生的堅強意志、勤于思考、動手動腦等非智力因素.培養(yǎng)學生的健全的人格，讓更多的學生有更好的發(fā)展.

　　●教學重點

　　離散型隨機變量的方差是隨機變量的另一個重要特征數(或數字特征)，也是對隨機變量的一種簡明扼要的描寫.隨機變量的方差表現(xiàn)了隨機變量所取的值相對于它的期望的集中與離散的程度.隨機變量ξ的方差就是另一個與ξ密切相關的隨機變量(ξ－Eξ)2的均值.兩個計算方差的簡單公式：(1)D(aξ+b)=a2Dξ;(2)如果ξ~B(n,p),則Dξ=npq(這里q=1－p).

　　●教學難點

　　離散型隨機變量的方差Dξ的定義引入是教學的難點，兩個方差的計算公式D(aξ+b)=a2Dξ，若ξ~B(n,p)則Dξ=npq的證明是另一個難點.第一個難點的原因是：由于教科書沒有引入隨機變量函數的一般定義，故只有從初中代數的回顧中提出問題，給出方差定義.

　　●教學方法

　　建構主義觀點在高中數學課堂教學中的實踐法.在學生已經掌握離散型隨機變量分布列及數學期望的認知水平上，利用直覺類比的方法對離散型隨機變量的期望及初中代數中的一組數據的方差概念進行同化或順應，然后再進行整合，得到離散型隨機變量的方差的概念.

　　●教具準備

　　投影儀或實物投影儀.

　　幻燈片1.2.2(二)A

　　例3：有A、B兩種鋼筋，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度指標如下：

　　●教學過程

　�、�.課題導入

　　在初中代數中我們曾經學過這樣一個問題：設在一組數據x1,x2,…,xn中，各數據與它們的平均數的差的平方分別是(x1－)2,(x2－)2,…,(xn－)2,那么S2=［(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2］叫做這組數據的方差.(板書)請問對于離散型隨機變量ξ所有可能取的值對應的概率分布是否也有方差呢？答案是：“有！”如何定義呢？這就是我們今天來學習的課題：離散型隨機變量的期望與方差(二)——方差.(板書課題)

　�、颍�講授新課

　　1.方差概念的導入

　　［師］如果離散型隨機變量ξ所有可能取的值是x1,x2,…,xn,…，且取這些值的概率分別是p1,p2,…,pn,…,(板書)，那么，如何定義ξ的方差呢？請同學們先討論，然后再來總結.

　�。凵�］(稍過片刻后)因為ξ的期望它是反映了離散型隨機變量取值的平均水平，這與我們初中所學過的一組數據x1，x2，…，xn的平均值的意義是相同的，由初中所學過的一組數據的方差定義直接類比有：把［(x1－Eξ)2+(x2－Eξ)2+…+(xn－Eξ)2］定義為隨機變量ξ的方差.

　�。蹘煟莩踔形覀儗W習的一組數據的方差的概念，這一組中的個數是有限的，而這個離散型隨機變量ξ的取值是有限還是無限呢？其二，一組數據中每一個出現(xiàn)的頻率都是一樣的，即為，而離散型隨機變量ξ所有可能取值對應的概率是否相同呢？請同學們再從這兩點出發(fā)，結合離散型隨機變量ξ的期望定義，也要看看初中學習的平均數的定義，由幾點出發(fā)能否得到離散型隨機變量ξ的方差的定義呢？

　　(課堂上的學術研討氣氛十分濃厚，他們按照劃分的學習小組進行討論研究，教師也參與進去，個別指導或旁聽或解疑或解答學生的問題)

　�。凵�］(片刻后)我們可以進行這樣的類比：

　　一組數據：x1，x2，…，xn離散型隨機變量ξ取值：x1，x2，…，xn，…

　　平均值期望Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…

　　方差S2=［(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2］方差：(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2

　　+…+(xn－Eξ)2pn+….

　�。蹘煟輨偛胚@位同學的類比是否合理呢？這是完全正確的(開始板書下列內容)：把Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…叫做隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差.Dξ的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作σξ.“σ”讀作(國際音標)這就是隨機變量ξ的方差和標準差的定義.由此可以看出，類比固然可以引導我們走向成功一面，但也會把我們領入歧途.

　　我們知道初中學習的方差它是說明了這組數據的波動情況，類似地離散型隨機變量ξ的方差Dξ和標準差σξ的實際意義是什么呢？

　�。凵�］這兩個數學量都是反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.(板書)

　�。蹘煟菰趯W習數學期望時，我們證明E(aξ+b)=aEξ+b，你們能猜想出D(aξ+b)的式子嗎？

　　［生］D(aξ+b)也是滿足線性關系，即D(aξ+b)=aDξ+b.

　�。蹘煟葸@僅僅是猜想，你能證明嗎？

　　［生］可以，利用定義直接推導.(他走上講臺，在黑板上寫道)

　　∵E(aξ+b)=aEξ+b.P(η=axi+b)=P(ξ=xi)(i=1，2，3，…，n，…).

　　∴D(aξ+b)=［ax1+b－E(aξ+b)］2p1+［(ax2+b)－E(aξ+b)］2p2+…+［(axn+b)－E(aξ

　　+b)］2pn+…=(ax1+b－aEξ－b)2p1+(ax2+b－aEξ－b)2p2+(ax3b－aEξ－b)2p3+…+(axn+b－

　　aEξ－b)2pn+…=(ax1－aEξ)2p1+(ax2－aEξ)2p2+…+(axn－aEξ)2pn+…=a2［(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…］=a2Dξ.

　　(注：該生剛開始時，寫［x1－E(aξ+b)］2，［x2－E(aξ+b)］2，…，展開后發(fā)現(xiàn)不對，沒有辦法推下去，這時教師現(xiàn)場指導，考查的隨機變量是η=aξ+b，而不是ξ，它所對應的.可能值是ax1+b，ax2+b，…，axn+b，….而不是x1，x2，…，xn，…，學生進行修改，繼續(xù)推導下去.然后教師走到學生中間與他們共同研究，發(fā)現(xiàn)問題個別指導，達到共識)

　�。蹘煟菰瓉砟愕牟孪胧荄(aξ+b)=aDξ+b，而證明的結果是D(aξ+b)=a2Dξ，你是相信哪一個呢？

　�。凵�］(齊聲說)相信證明的結果.

　�。蹘煟蓊惐鹊乃枷敕椒ㄔ诳茖W發(fā)現(xiàn)中有著十分重要的作用，這一點是不可撼動的但我們要知道事物都是一分為二的，類比固然可以引導我們走向成功，但有的時候也會捉弄我們，把我們領向歧途，本題就是一個事實.所以，我們既要學習類比與猜想，又要學會嚴密的證明，這樣我們思維品質更加優(yōu)異，更具有辯證性.

　　如果離散型隨機變量ξ滿足二項分布，即ξ~B(n，p)，那么Dξ又等于什么？同學們能否仿照Eξ的證明方法給出證明？

　　(學生躍躍欲試，拿起筆在草稿上飛速書寫或相互討論)

　�。凵�］我愿意到黑板上推導試試看.因為ξ~B(n，p)，∴Eξ=np，Dξ=E(ξ－Eξ)2=

　　E［ξ2－2ξEξ+(Eξ)2］=Eξ2－2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2－(Eξ)2.而Eξ2=02··p0qn+12·

　　·p1qn－1+22··p2·qn－2+32·p3qn－3+…+n2·pnq0.( )

　　∵k2=(k2－k)+k，∴k2=(k2－k)+k·=k(k－1)+n=n(k－1)+n1=n(n－1)+n.

　　∴( )為Eξ2=0+［n·(1－1)·+n·］p1qn－1+［n(n－1)+n］p2qn－2+［n(n－1)+n］p3qn－3+…+［n(n－1)+n］pkqn－k+…+［n(n－1)+

　　n］pn·q0=n(n－1)p2［p0qn－2+p1qn－3+…+pn－2q0］+np·［p0qn－1

　　+p1qn－2+p2qn－3+…+pn－1q0］=n(n－1)p2(p+q)n－2+np·(p+q)n－1=n(n－1)p2+np

　　∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=n(n－1)p2+np－(np)2=np－np2=np(1－p)=npq(q=1－p).即Dξ=npq.

　�。蹘煟葸@位同學已經證明的太妙了！請同學詳細讀讀他的書寫過程.你的解法和他的是否相同，如果你沒有證出來，你的問題癥結在何處，正確找出差異，才能更好地進步.

　　［生］我看太繁，沒有敢往下寫，也不知道如何化簡( )式，我沒有他的那種毅力.

　�。凵�］對于我知道運用，但對于k2，我就不知道該如何化簡了.他在黑板寫的是拆項(即添項去項)，構造出，然后再來運用(k－1)·=(n－1).這是證明本題的核心所在.他的代數推理能力太棒了，我要向他學習.

　�。蹘煟葸@兩位同學都說出真心話，他們對黑板上的同學的證明給予了充分的肯定.從這里也看出了我們在平時的學習中要有恒心，要有信心，要有堅韌不拔的毅力和堅強的意志，見到困難不能低頭，只有這樣才能把自己的工作和學習做的更加出色.(學生們一起鼓掌)

　　(這種寬松和諧氣氛的營造不是老師一個人去說教的，而是靠師生共同去創(chuàng)造的，教師的寬厚待人、謙虛求實、嚴而有愛、學識廣博，往往是喚醒沉睡的課堂的關鍵，教師的精湛的教學藝術又是活躍課堂研討氣氛的調和劑，教師的作用是組織者、策劃者，而學生才是真正的主人)

　　2.課本例題

　�。劾�1］(原課本例5)已知離散型隨機變量ξ1和ξ2的概率分布

　　求這兩個隨機變量ξ1與ξ2的期望、方差與標準差.

　　(教師簡要地把表寫在黑板上，請同學來編題，設計問題)

　�。蹘煟莅春诎迳系谋砀裰械挠嘘P數據，哪位同學提出求什么問題？

　�。凵�］可以求隨機變量ξ1、ξ2的方差與標準差.

　�。蹘煟輰�，那我們就一起來求解吧！

　　［師］我們先計算出ξ1、ξ2的期望，再利用方差的定義求解.

　　解：Eξ1=1×+2×+3×+4×+5×+6×+7×=×(1+2+3+4+5+6+7)=4.

　　Dξ1=(1－4)2×+(2－4)2×+(3－4)2×+(4－4)2×+(5－4)2×+(6－4)2×+(7－4)2×=(32+22+12+02+12+22+32)×=2×14×=4.

　　∴σξ1==2

　　Eξ2=3.7×+3.8×+3.9×+4×+4.1×+4.2×+4.3×=×(3.7+3.8+3.9+4+4.1+4.2+4.3)=×=4.

　　Dξ2=(3.7－4)2×+(3.8－4)2×+(3.9－4)2×+(4－4)2×+(4.1－4)2×+(4.2－4)2×+(4.3－4)2×=(0.32+0.22+0.12+02+0.12+0.22+0.32)×=×2×14×=0.04.

　　∴σξ2==0.2

　�。蹘煟荽祟}中Eξ1=Eξ2，但Dξ1≠Dξ2，ξ1和ξ2都是以相等的概率取各個不同的數值，ξ1取較為分散的數值1，2，3，4，5，6，7，ξ2取較為集中的數值3.7，3.8，3.9，4，4.1，4.2，4.3.Eξ1=Eξ2=4，Dξ1=4，Dξ2=0.04.方差比較清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中，由σξ1=2，σξ2=0.2可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差，這個偏差甚至可以讓學生從隨機變量的分布列通過猜想得到.

　　［例2］(原課本P14例6)甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，分布列如下表：

　　用擊中環(huán)數的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平.

　　(教師先在黑板上列出兩張表格，請學生命題，但又不同于上題)

　�。蹘煟菡埻瑢W們根據表中提供的數據編擬一道試題.

　�。凵�］甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，各有關數據如表所示，求甲、乙兩名射手的擊中環(huán)數的期望、方差和標準差.

　�。蹘煟菘梢裕∵�有哪位同學提出新的問題.

　�。凵�］甲、乙兩名射手在同一條件下進行射擊，根據所給的數據，問哪個水平高？

　　［師］這個問法比較好，也是目前生產、生活中常見的問題，從實際問題抽象成數學問題，這個過程就需要建構.要想更好地回答這個問題，必須要計算期望與方差，利用它們來分析.

　　［生］Eξ1=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，Dξ1=(8－9)2×0.2+(9－9)2×0.6+(10－9)2×0.2=0.2+0+0.2=0.4

　　Eξ2=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，Dξ2=(8－9)2×0.4+(9－9)2×0.2+(10－9)2×0.4=0.4+0+0.4=0.8.

　　從上可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1

　�。蹘煟荭�1和ξ2所可能取的值是一致的，只是P(ξ=8)，P(ξ=9)，P(ξ=10)的分布情況不一樣.Eξ1=Eξ2，這時通過Dξ1和Dξ2來比較ξ1與ξ2的集中與離散程度，即兩名射手射擊成績的穩(wěn)定狀況.在許多問題中常常在Eξ1=Eξ2或Eξ1與Eξ2很接近時用Dξ1和

　　Dξ2來比較兩個隨機變量ξ1和ξ2，并決定取舍.

　　下面再看一題(打出幻燈片1.1.2A)請一位同學讀題，然后談談你的解題策略是什么？

　�。凵�］(讀完題后說)要比較它們的質量，首先要看他們的平均抗拉強度是否達標，即它們的數學期望是否低于120，再比較它們的方差.

　�。凵�］解：EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125.

　　EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.

　　兩種鋼筋的平均抗拉強度都是125.此時我們再看它們與平均強度的偏離程度，即它們的方差大�。�

　　DξA=0.1×(110－125)2+0.2×(120－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－125)2+0.2×(135－125)2=50.

　　DξB=0.1×(110－125)2+0.2×(115－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－125)2+0.2×(145－125)2=165.

　　∵DξB>DξA，∴B種鋼筋的抗拉強度指標與其平均值偏差很大，即取值較分散，所以盡管它們中有的抗拉強度指標很大，但不合格的數量比A種的要多，故可以認為A種鋼筋比B種鋼筋質量要好.

　�。蹘煟葸@個例子說明，在實際問題中僅靠期望值還不能完善地說明隨機變量的分布特征，還必須研究其偏離平均值的離散程度即離散型隨機變量的方差.請同學們注意收集整理這些信息，一定能有更大的收獲.

　�、�.課堂練習

　　課本P15練習題，1、2、3、4題(學生板演)

　�、�.課時小結

　　［師］今天我們學習離散型隨機變量的方差，它是隨機變量的又一個重要特征數.離散型隨機變量的方差的公式是Dξ=·pi,即Dξ=E(ξ－Eξ)2.特例是:①D(aξ+b)=a2Dξ;②如果ξ~B(n，p)，那么Dξ=np(1－p);③D(ξ=c)=0.要靈活運用方差來研究有關問題.注重學以致用.

　　Ⅴ．課后作業(yè)

　　(一)課本P16，7、8題.

　　(二)預習課本P17，1.3抽樣方法.

　　●板書設計

　　離散型隨機變量的方差

　　一、定義：

　　1.把Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…叫做隨機變量ξ的方差.

　　2.Dξ的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作σξ.

　　3.幾個特例：

　　①D(aξ+b)=a2Dξ;

　�、讦蝵B(n，p)，則Dξ=np(1－p);

　　③D(ξ=c)=0.

　　公式：D(aξ+b)=a2Dξ的推導過程，

　　ξ~B(n，p)時，Dξ=np(1－p)的推導.

　　二、例題

　　例1 例2 例3

離散型隨機變量教案3

　　教材分析教材的地位和作用

　　期望是概率論和數理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊。同時，它在市場預測，經濟統(tǒng)計，風險與決策等領域有著廣泛的應用，為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響。

　　教學重點與難點

　　重點：離散型隨機變量期望的概念及其實際含義。

　　難點：離散型隨機變量期望的實際應用。

　　[理論依據]本課是一節(jié)概念新授課，而概念本身具有一定的抽象性，學生難以理解，因此把對離散性隨機變量期望的概念的教學作為本節(jié)課的教學重點。此外，學生初次應用概念解決實際問題也較為困難，故把其作為本節(jié)課的教學難點。

　　二、教學目標

　　[知識與技能目標]

　　通過實例，讓學生理解離散型隨機變量期望的概念，了解其實際含義。

　　會計算簡單的'離散型隨機變量的期望，并解決一些實際問題。

　　[過程與方法目標]

　　經歷概念的建構這一過程，讓學生進一步體會從特殊到一般的思想，培養(yǎng)學生歸納、概括等合情推理能力。

　　通過實際應用，培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數學問題的能力和學以致用的數學應用意識。

　　[情感與態(tài)度目標]

　　通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生學習數學的情感，培養(yǎng)其嚴謹治學的態(tài)度。在學生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，從而實現(xiàn)自我的價值。

　　三、教法選擇

　　引導發(fā)現(xiàn)法

　　四、學法指導

　　“授之以魚，不如授之以漁”，注重發(fā)揮學生的主體性，讓學生在學習中學會怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。

【離散型隨機變量教案】相關文章：

古典概型教案02-23

手型創(chuàng)意組合大班教案11-17

大班美術手型創(chuàng)意教案02-15

古典概型說課稿11-08

小班探索型主題活動--蛋11-26

高中數學《古典概型》說課稿02-16

素養(yǎng)表現(xiàn)型教學心得體會11-21

教案中班教案02-23

中班教案教案04-15