- 相關(guān)推薦
正多邊形和圓教案
作為一位杰出的教職工，編寫(xiě)教案是必不可少的，編寫(xiě)教案有利于我們弄通教材內(nèi)容，進(jìn)而選擇科學(xué)、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。那么什么樣的教案才是好的呢？以下是小編為大家整理的正多邊形和圓教案，希望對(duì)大家有所幫助。
正多邊形和圓教案1
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；
�。�2）理解正多邊形的對(duì)稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；
�。�3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
�。�4）通過(guò)正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學(xué)重點(diǎn)：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理。
教學(xué)難點(diǎn)：
對(duì)“正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓”的理解。
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
�。ㄒ唬┨岢鰡�(wèn)題：
問(wèn)題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義，并且知道只要n等分（n≥3）圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形。反過(guò)來(lái)，是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢？
�。ǘ⿲�(shí)踐與探究：
組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng)。
實(shí)踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？
2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？
探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的'圓心在哪？（正方形對(duì)角線的交點(diǎn)。）
�。�2）根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對(duì)角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心？
�。�3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰(shuí)？
�。ㄈ┩卣�、推理、歸納：
�。�1）拓展、推理：
過(guò)正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD。
同理，點(diǎn)E在⊙O上。
所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓⊙O。
因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等。因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距（OH）為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切�？梢�(jiàn)正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓。
�。�2）歸納：
正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一條直線上
它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑。
其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑。
正五邊形的各頂點(diǎn)共圓。
正五邊形有外接圓。
圓心到各邊的距離相等。
正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離。
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓。
定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。
正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距。正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等。正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角。正n邊形的每個(gè)中心角都等于。
（3）鞏固練習(xí)：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______。
2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______。
3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______。
4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等。
�。ㄋ模┱噙呅蔚男再|(zhì)：
1、各邊都相等。
2、各角都相等。
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，它們又各應(yīng)有幾條對(duì)稱軸？
3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心。邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。
4、邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方。
5、任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。
以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問(wèn)題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作學(xué)習(xí)精神。
�。ㄎ澹┛偨Y(jié)
知識(shí)：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)。
能力：探索、推理、歸納等能力。
方法：證明點(diǎn)共圓的方法。
�。┳鳂I(yè)P159中練習(xí)1、2、3。
正多邊形和圓教案2
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理；
�。�2）通過(guò)正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過(guò)正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力；
�。�3）進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想。
教學(xué)重點(diǎn)：
正多邊形的概念與的關(guān)系的第一個(gè)定理。
教學(xué)難點(diǎn)：
對(duì)定理的理解以及定理的證明方法。
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：
1。等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？
2。正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn)。
教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題。
（二）正多邊形的概念：
�。�1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。如果一個(gè)正多邊形有n（n≥3）條邊，就叫正n邊形。等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形。
（2）概念理解：
�、僬�(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見(jiàn)過(guò)的正多邊形。（正三角形、正方形、正六邊形，……。）
�、诰匦问钦噙呅螁幔繛槭裁�？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟取Ａ庑尾皇钦噙呅�，因�(yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟取?/p>
（三）分析、發(fā)現(xiàn)：
問(wèn)題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？
發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓。
分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分。要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形。要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關(guān)系的.定理
定理：把圓分成n（n≥3）等份：
�。�1）依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；
�。�2）經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。
我們以n=5的情況進(jìn)行證明。
已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E的⊙O的切線。
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形。
證明：（略）
引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：
弧相等
說(shuō)明：（1）要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來(lái)判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來(lái)判定，即：①依次連結(jié)圓的n（n≥3）等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過(guò)圓的n（n≥3）等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形。
�。�2）要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件。
�。�3）此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形。
（五）初步應(yīng)用
P157練習(xí)
1、（口答）矩形是正多邊形嗎？菱形是正多邊形嗎？為什么？
2。求證：正五邊形的對(duì)角線相等。
3。如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn)，畫(huà)出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形。
（六）小結(jié)：
知識(shí)：（1）正多邊形的概念。（2）n等分圓周（n≥3）可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形。
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業(yè)教材P172習(xí)題A組2、3。
正多邊形和圓教案3
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；
�。�2）通過(guò)證明和畫(huà)圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
（3）通過(guò)例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn)：
綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來(lái)解決問(wèn)題，要理解通過(guò)對(duì)具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸。
教學(xué)難點(diǎn)：
綜合運(yùn)用知識(shí)證題。
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）知識(shí)回顧
1。什么叫做正多邊形？
2。什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3。正多邊形有哪些性質(zhì)？（邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心）
4。正n邊形的每個(gè)中心角都等于。
5。正多邊形的有關(guān)的定理。
（二）例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形。
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’。
求證：五邊形ABCDE是正五邊形。
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可。
教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明。
證法1：連結(jié)OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O。
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD。
∴∠BAO=∠OCB。
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA。
∴五邊形ABCDE是正五邊形。
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD。
∠B=∠C∠1=∠2=。
同理===，
即切點(diǎn)A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點(diǎn)。所以五邊形ABCDE是正五邊形。
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來(lái)判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn)。由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”。
此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA。
求證：五邊形ABCDE是正五邊形。（證明略）
分小組進(jìn)行證明競(jìng)賽，并歸納學(xué)生的證明方法。
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N。
求證：五邊形ABCDE是正五邊形。（證明略）
學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程，對(duì)B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)。
例2、已知：正六邊形ABCDEF。
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓。
作法：1過(guò)A、B、C三點(diǎn)作⊙O�！袿就是所求作的正六邊形的外接圓。
2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離（OH）為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓。
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓。
練習(xí)：P161
1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。
2、（口答）下列命題是真命題嗎？如果不是，舉出一個(gè)反例。
（1）各邊相等的'圓外切多邊形是正多邊形；
（2）各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。
3、已知：正方形ABCD。求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓。
（三）小結(jié)
知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法。
能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定。正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫(huà)法。
（四）作業(yè)
教材P172習(xí)題4、5；另A層學(xué)生：P174B組3、4。
探究活動(dòng)
折疊問(wèn)題：（1）想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形。
�。ㄌ崾荆孩賹�(duì)折；②再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可）
（2）想一想：能否把一個(gè)邊長(zhǎng)為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形。
�。ㄌ崾荆嚎梢浴Ｖ饕獞�(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理。參考圖形如下：
�、賹�(duì)折成小正方形ABCD；
②對(duì)折小正方形ABCD的中線；
�、蹖�(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
④則B、B’為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形。）
探究問(wèn)題：
（安徽省20xx）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：
甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；
乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形。如圖一，△ABC是正三角形，形，==，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形。我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也是正多邊形。
�。�1）請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等。
�。�2）請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖二）是正七邊形（不必寫(xiě)已知、求證）。
�。�3）根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想（不必證明）。
�。�1）[說(shuō)明]
（2）[證明]
�。�3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對(duì)。因?yàn)?，而∠DAF對(duì)的=+=+=。所以∠AFC=∠DAF。
同理可證，其余各角都等于∠AFC。所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相。
�。�2）因?yàn)椤螦對(duì)，∠B對(duì)，又因?yàn)椤螦=∠B，所以=。所以=。
同理======。所以七邊形ABCDEFG是正七邊形。
猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)（或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，……時(shí)），各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。
正多邊形和圓教案4
教學(xué)目標(biāo)：
1、使學(xué)生理解正多邊形概念；
2、使學(xué)生了解依次連結(jié)圓的n等分點(diǎn)所得的多邊形是正多邊形；過(guò)圓的n等分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是正多邊形。
3、通過(guò)正多邊形定義教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；
4、通過(guò)正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力。
教學(xué)重點(diǎn)：
�。�1）正多邊形的定義；
�。�2）n等分圓周（n≥3）可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形。
教學(xué)難點(diǎn)：
對(duì)正n邊形中泛指“n”的理解。
教學(xué)過(guò)程：
一、新課引入：
同學(xué)們思考以下問(wèn)題：
1、等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？
2、正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？[安排中下生回答]
3、等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)有什么共同點(diǎn)？[安排中上生回答：各邊相等、各角相等]。
各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形。這就是我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容“7。15正多邊形和圓”。
二、新課講解：
正多邊形在生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用性，因此，正多邊形的知識(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和參加生產(chǎn)勞動(dòng)都是必要的。因此本節(jié)課首先給出正多邊形的定義，然后根據(jù)正多邊形的定義和圓的有關(guān)知識(shí)推導(dǎo)出正多邊形與圓的第一個(gè)關(guān)系定理，即n等分圓周就可得到圓的內(nèi)接或外切正n邊形，它是正多邊形畫(huà)圖的理論依據(jù)，因此也是本節(jié)課的重點(diǎn)之一。
同學(xué)回答：什么是正多邊形？[安排中下生回答：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。]
如果一個(gè)正多邊形有n（n≥3）條邊，就叫正n邊形。等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形。
幻燈展示圖形：
上面這些圖形都是正幾邊形？[安排中下生回答：正三角形，正四邊形，正五邊形，正六邊形。]
矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？[安排中下生回答：矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟�。菱形不是正多邊形，因�(yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟取
哪位同學(xué)記得在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距關(guān)系定理？[安排記起來(lái)的學(xué)生回答：在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距有一組量相等，那么其余量都相等。]
要將圓三等分，那么其中一等份的弧所對(duì)圓心角度數(shù)是多少？要將圓四等分、五等分、六等分呢？[安排中下生回答：將圓三等分，其中每等份弧所對(duì)圓心角120°、將圓四等分，每等份弧所對(duì)圓心角90°、五等分，圓心角72°、六等分，圓心角60°]
哪位同學(xué)能用量角器將黑板上的圓三等分、四等分、五等分、六等分？[接排四名上等生上黑板完成，其余學(xué)生在下面練習(xí)本上用量角器等分圓周。]
大家依次連結(jié)各分點(diǎn)看所得的圓內(nèi)接多邊形是什么樣的多邊形？[學(xué)生答：正多邊形。]
求證：五邊形abcde是⊙o的內(nèi)接正五邊形。
以幻燈所示五邊形為例，哪位同學(xué)能證明這五邊形的五條邊相等？[安排中等生回答：]
哪位同學(xué)能證明這五邊形的五個(gè)角相等？[安排中等生回答：]
前面的證明說(shuō)明“依次連結(jié)圓的五等分點(diǎn)所得的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形”的觀察后的猜想是正確的。如果n等分圓周，（n≥3）、n=6，n=8……是否也正確呢？[安排學(xué)生們充分討論]。
因?yàn)樵谕瑘A中，弧等弦等，n等分圓就得到n條弦等，也就是n邊形的各邊都相等。又n邊形的每個(gè)內(nèi)角對(duì)圓的（n—2）條弧，而每一內(nèi)角所對(duì)的弧都相等，根據(jù)弧等、圓周角相等，證明了n邊形的各角都相等，因此圓內(nèi)接正五邊形的.證明具有代表性。
定理：把圓分成n（n≥3）等份：
�。�1）依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；
為何要“依次”連結(jié)各分點(diǎn)呢？缺少“依次”二字會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？大家討論討論看看。
經(jīng)過(guò)圓的五等分點(diǎn)作圓的切線，大家觀察以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形是不是正五邊形？
pq、qr、rs、st分別是經(jīng)過(guò)分點(diǎn)a、b、c、d、e的⊙o的切線。
求證：五邊形pqrst是⊙o的外切正五邊形。
由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同學(xué)能說(shuō)明五邊形pqrst的各角都相等？[安排中上生回答]哪位同學(xué)能證明五邊形pqrst的各邊都相等？[安排中等生回答。]
前面同學(xué)的證明，說(shuō)明“經(jīng)過(guò)圓的五等分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正五邊形�！蓖瑯痈鶕�(jù)弧等弦等、弦切角等就可證明經(jīng)過(guò)圓的n等分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的n個(gè)等腰三角形全等，從而證明了這個(gè)圓的以它n等分點(diǎn)為切點(diǎn)的外切n邊形是正n邊形。
（2）經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。
定理（2）中少“相鄰”兩字行不行？少“相鄰”兩字會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？同學(xué)們相互間討論研究看看。
三、課堂小結(jié)：
本堂課我們學(xué)習(xí)的知識(shí)：
1、學(xué)習(xí)了正多邊形的定義。
2、n等分圓周（n≥3）可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形。
正多邊形和圓教案5
教學(xué)建議
1、教材分析
�。�1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理．這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識(shí)，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證明．
難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式．因?yàn)閳D形中的線段較多，學(xué)生容易混淆．
2、教學(xué)建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí)．第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2．第2課時(shí)介紹切割線定理及其推論，做例3．第3課時(shí)是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3．
�。�1）教師通過(guò)教學(xué)，組織學(xué)生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；
�。�2）在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”等學(xué)習(xí)，教師組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)．
第1課時(shí)：相交弦定理
教學(xué)目標(biāo)：
1．理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算；
2．學(xué)會(huì)作兩條已知線段的比例中項(xiàng)；
3．通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神；
4．通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法．
教學(xué)重點(diǎn)：
正確理解相交弦定理及其推論．
教學(xué)難點(diǎn)：
在定理的敘述和應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯(cuò)誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)出定理．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
�。ㄒ唬┰O(shè)置學(xué)習(xí)情境
1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動(dòng)）
�、僖龑�(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．
�、谶M(jìn)一步得出：△APC∽△DPB．
�。�
③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段PA，PB，PC，PO之間的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學(xué)生觀察，并回答．
2、證明：
已知：弦AB和CD交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P．
求證：PA·PB＝PC·PD．
�。ˋ層學(xué)生要訓(xùn)練學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明；B、C層學(xué)生在老師引導(dǎo)下完成）
�。ㄗC明略）
（二）定理及推論
1、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．
結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點(diǎn)P，那么PA·PB＝PC·PD．
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論．
對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P．
提問(wèn)：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?
指出：PC2＝PA·PB．
請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確．教師糾正，并板書(shū)．
推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的'兩條線段的比例中項(xiàng)．
3、深刻理解推論：由于圓是軸對(duì)稱圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB．
若再連結(jié)AC，BC，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
PC2＝PA·PB；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
�。ㄈ⿷�(yīng)用、反思
例1已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(zhǎng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng)．
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解．
例2?已知：線段a，b．
求作：線段c，使c2＝ab．
分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段．
作法：口述作法．
反思：這個(gè)作圖是作兩已知線段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用．同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖．
練習(xí)1如圖，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．
變式練習(xí)：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的長(zhǎng)度皆為整數(shù)．那么CD的長(zhǎng)度是多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
練習(xí)2如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的長(zhǎng)．
練習(xí)3?如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點(diǎn)，OP⊥PC，PC交⊙O于C．?求證：PC2＝PA·PB
引導(dǎo)學(xué)生分析：由AP·PB，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(zhǎng)CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根據(jù)條件OP⊥PC．易證得PC＝PD問(wèn)題得證．
�。�四）小結(jié)
知識(shí)：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力；
思想方法：學(xué)習(xí)了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法．
�。ㄎ澹┳鳂I(yè)
教材P132中9，10；P134中B組4(1)．
第12頁(yè)
正多邊形和圓教案6
教學(xué)目標(biāo)：
�。�1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；
（2）通過(guò)證明和畫(huà)圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
（3）通過(guò)例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí)．
教學(xué)重點(diǎn)：
綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來(lái)解決問(wèn)題，要理解通過(guò)對(duì)具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸．
教學(xué)難點(diǎn)：綜合運(yùn)用知識(shí)證題．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）知識(shí)回顧
1．什么叫做正多邊形？
2．什么是正多邊形的'中心、半徑、邊心距、中心角？
3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心)
4．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．
5．正多邊形的有關(guān)的定理．
�。ǘ├}研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明．
證法1：連結(jié)OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O．
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．
∴∠BAO=∠OCB．
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．
∴五邊形ABCDE是正五邊形．
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．
∠B=∠C ∠1=∠2 =．
同理 ===，
即切點(diǎn)A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點(diǎn)．所以五邊形ABCDE是正五邊形．
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來(lái)判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn)．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．
此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)，數(shù)學(xué)教案－正多邊形和圓，初中數(shù)學(xué)教案《數(shù)學(xué)教案－正多邊形和圓》。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）
分小組進(jìn)行證明競(jìng)賽，并歸納學(xué)生的證明方法．
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）
學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程，對(duì)B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)．
例2、已知：正六邊形ABCDEF．
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．
作法：1過(guò)A、B、C三點(diǎn)作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．
2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．
練習(xí)：P161
1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個(gè)反例．
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．
�。ㄈ┬〗Y(jié)
知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．
能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫(huà)法．
（四）作業(yè)
教材P172習(xí)題4、5；另A層學(xué)生：P174B組3、4．
探究活動(dòng)
折疊問(wèn)題：（1）想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形．
�。ㄌ崾荆孩賹�(duì)折；②再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可）
（2）想一想：能否把一個(gè)邊長(zhǎng)為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形．
�。ㄌ崾荆嚎梢裕饕獞�(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理．參考圖形如下：
①對(duì)折成小正方形ABCD；
�、趯�(duì)折小正方形ABCD的中線；
�、蹖�(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
�、軇tB、B’為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形．）
探究問(wèn)題：
（安徽省20xx）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：
甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；
乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形， ==，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形．
(1)請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．
(2)請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫(xiě)已知、求證)．
(3)根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想(不必證明)．
（1）[說(shuō)明]
�。�2）[證明]
�。�3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對(duì) ．因?yàn)?=，而∠DAF對(duì)的 =+ =+ =．所以∠AFC=∠DAF．
同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．
�。�2）因?yàn)椤螦對(duì) ，∠B對(duì) ，又因?yàn)椤螦=∠B，所以 =．所以 =．
同理 ======．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．
猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)(或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，……時(shí))，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。
正多邊形和圓教案7
教學(xué)目標(biāo)：
（1）使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理；
（2）通過(guò)正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過(guò)正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力；
�。�3）進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．
教學(xué)重點(diǎn)：
正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理．
教學(xué)難點(diǎn)：
對(duì)定理的理解以及定理的證明方法．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
�。ㄒ唬┯^察、分析、歸納：
觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？
2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn)．
教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題．
�。ǘ┱噙呅蔚母拍睿�
�。�1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．
�。�2）概念理解：
①請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見(jiàn)過(guò)的`正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
�、诰匦问钦噙呅螁幔繛槭裁�？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟龋庑尾皇钦噙呅�，因�(yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟龋?/p>
�。ㄈ┓治�、發(fā)現(xiàn)：
問(wèn)題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？
發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．
分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分．要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；
(2)經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．
我們以n=5的情況進(jìn)行證明．
已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E的⊙O的切線．
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；
�。�2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．
證明：（略）
引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：
弧相等
說(shuō)明：(1)要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來(lái)判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來(lái)判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過(guò)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．
（五）初步應(yīng)用
P157練習(xí)
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2．求證：正五邊形的對(duì)角線相等．
3．如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn)，畫(huà)出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．
（六）小結(jié)：
知識(shí)：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
�。ㄆ撸┳鳂I(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3．