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拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案
作為一名人民教師，時(shí)常需要編寫教案，借助教案可以更好地組織教學(xué)活動(dòng)。教案要怎么寫呢？以下是小編整理的拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案，希望能夠幫助到大家。
拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案1
教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)目標(biāo)：1、掌握拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。
2、能根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。
能力目標(biāo)：能根據(jù)簡單的已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
情感目標(biāo)：能根據(jù)老師的引導(dǎo)積極探索問題的規(guī)律。
教學(xué)重點(diǎn)：分清拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。
教學(xué)難點(diǎn)：利用拋物線的定義探索解決一些新問題。
教學(xué)方法及手段：啟發(fā)引導(dǎo)
教學(xué)過程：
一、課程引入
1、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？
2、與兩條相交直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？
問：與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？(學(xué)生探索)
教師flash課件演示（解釋原理）
二、新課解析
1、定義：（板書課題）
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)。直線L叫拋物線的準(zhǔn)線
生活中的拋物線有哪些？太陽灶，拋射物體的運(yùn)行軌道，二次函數(shù)的圖象等。
但在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對(duì)稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形．如果拋物線的對(duì)稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個(gè)限制，從更一般意義上來研究拋物線．
2、推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（先復(fù)習(xí)求軌跡方程的方法和步驟；如何建系）
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)|KF|=（>0）,那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，
設(shè)拋物線上的點(diǎn)M（x,y），則有
化簡方程得
3、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：
方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是說明：拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況。這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下
圖形
方程
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn)；
(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；
(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離
不同點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的變量決定焦點(diǎn)在哪條軸上，系數(shù)的”＋”，”－”決定焦點(diǎn)在正半軸還是負(fù)半軸
三、例題精講
例1：
(1)已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
�。�2）已知拋物線的方程是y = －6×2，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
�。�3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，－2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。
例2：求經(jīng)過點(diǎn)A（－3，2）的'拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
思考題：（選做）
M是拋物線y2 = 2px（P＞0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為X0，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是?
四、課堂練習(xí)
1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
�。�1）焦點(diǎn)是F（3，0）；
（2）準(zhǔn)線方程是x = －
�。�3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2。
2、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：
�。�1）y2 = 20x （2）x2=y （3）x2+8y =0
�。ㄟx做）
3、點(diǎn)M與點(diǎn)F（4,0）的距離比它到直線的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程
五、課堂小結(jié)
1、拋物線定義
2、拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖像；焦點(diǎn)準(zhǔn)線的判定
3、求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）定義法；（2）待定系數(shù)法
六、作業(yè)布置
學(xué)案反面《課后作業(yè)》
七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明
�。�1）建立坐標(biāo)系是坐標(biāo)法的思想基礎(chǔ)，但不同的建立方式使所得的方程繁簡不同，布置學(xué)生自己寫出推導(dǎo)過程并與課文對(duì)照可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力、自學(xué)能力，提高教學(xué)效果 ，進(jìn)一步明確拋物線上的點(diǎn)的幾何意義
�。�2）猜想是數(shù)學(xué)問題解決中的一類重要方法，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)推導(dǎo)出的（1）的標(biāo)準(zhǔn)方程猜想其它幾個(gè)結(jié)論，非常有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納推理或類比推理的能力，幫助他們形成良好的直覺思維—數(shù)學(xué)思維的一種基本形式另外讓學(xué)生推導(dǎo)和猜想出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程所有的四種形式，也比老師直接寫出這些方程給學(xué)生帶來的理解和記憶的效果更好
�。�3）對(duì)四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程進(jìn)行完整的歸納小結(jié)，讓學(xué)生通過對(duì)比分析全面深刻地理解和掌握它們
拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案2
一、目標(biāo)
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形,會(huì)推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
2.能夠利用給定條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
3.通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，學(xué)會(huì)反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀。并進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想
二、重點(diǎn)
拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
三、教學(xué)難點(diǎn)
拋物線定義的形成過程及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（關(guān)鍵是坐標(biāo)系方案的選擇）
四、教學(xué)過程
�。ㄒ唬⿵�(fù)習(xí)舊知
在初中，我們學(xué)習(xí)過了二次函數(shù) ，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線
例如：（1） ，（2） 的圖象（展示兩個(gè)函數(shù)圖象）：
（二）講授新課
1.課題引入
在實(shí)際生活中，我們也有許多的拋物線模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的薩爾南拱門,它就是用不銹鋼鑄成的拋物線形的建筑物。到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？
這就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書：課題2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程）
2.拋物線的定義
信息技術(shù)應(yīng)用（課堂中展示畫圖過程）
先看一個(gè)實(shí)驗(yàn)：
如圖：點(diǎn)F是定點(diǎn)， 是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線，H是 上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作 ，線段FH的垂直平分線 交MH于點(diǎn)M。拖動(dòng)點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？（學(xué)生觀察畫圖過程，并討論）
可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有MH=MF,即點(diǎn)M與定點(diǎn)F和定直線 的距離相等。（也可以用幾何畫板度量MH，MF的值）
�。ǘx引入）：
我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線 （ 不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 叫做拋物線的準(zhǔn)線.（板書）
思考？若F在 上呢？（學(xué)生思考、討論、畫圖）
此時(shí)退化為過F點(diǎn)且與直線 垂直的一條直線.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點(diǎn) 滿足到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線 的距離相等。那么動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？
要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標(biāo)系.
問題 設(shè)焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線 的距離為 ，你認(rèn)為應(yīng)該如何選擇坐標(biāo)系求拋物線的方程？按照你建立直角坐標(biāo)系的方案，求拋物線的方程.
�。ㄒ龑�(dǎo)學(xué)生分組討論，回答，并不斷補(bǔ)充常見的幾種建系方法，叫學(xué)生應(yīng)用投影儀展示計(jì)算結(jié)果）
注意：1.標(biāo)準(zhǔn)方程必須出來，此表格在黑板上板書。
2.若出現(xiàn)比較復(fù)雜建系方案，可以以引入的字母參數(shù)較多為由，先排除計(jì)算
3.強(qiáng)調(diào)P的意義。
4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解 為坐標(biāo)的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，即方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上。所以這些方程都是拋物線的方程.
�。ㄟx擇標(biāo)準(zhǔn)方程）
師：觀察4（3）個(gè)建系方案及其對(duì)應(yīng)的方程，你認(rèn)為哪種建系方案使方程更簡單？
�。▽W(xué)生選擇，說明1.對(duì)稱軸 2.焦點(diǎn) 3.方程無常數(shù)項(xiàng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)）
推導(dǎo)過程：取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示，則有F（ ,0）,l的方程為x=— .
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y），由拋物線定義得：
化簡得y2=2px(p＞0)
師：我們把方程 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是 。
師：在建立橢圓、雙曲線的`標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，選擇不同的坐標(biāo)系得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)于拋物線，當(dāng)我們選擇如圖三種建立坐標(biāo)系的方法，我們也可以得到不同形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（學(xué)生分前兩排，中間兩排，后面兩排三組分別計(jì)算三種情況，一起填充表格）
圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程
y2=2px(p＞0)
�。� ,0）
x=—
y2=—2px(p＞0)
�。ā� ,0）
x=
x2=2py(p＞0)
（0, ）
y=—
x2=—2py(p＞0)
�。�0,— ）
y=
(三)例題講解
例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,
�。�2）已知拋物線的焦點(diǎn)是 ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解：（1）∵拋物線方程為y2=6x
∴p=3，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0），準(zhǔn)線方程是x=— .
（2）∵焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且 =2，∴p=4
則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2=—8y.
變式訓(xùn)練1：
(1)已知拋物線的準(zhǔn)線方程是x=— ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2y2+5x=0,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
解(1)∵焦點(diǎn)是F（0，3），∴拋物線開口向上，且 =3，則p=6
∴所求拋物線方程是x2=12y
(2)∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=— x，∴p= [高考XK]
則焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(— ,0)，準(zhǔn)線方程是x=
例2 點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.
解：如右圖所示，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y)
由已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)的拋物線.
∵ =4，∴p=8
因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸的正半軸上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=16x.
變式訓(xùn)練2：
在拋物線y2=2x上求一點(diǎn)P，使P到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最小.
解：如下圖所示，設(shè)拋物線的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為PQ
由拋物線定義可知：PF=PQ
∴PF+PA=PQ+PA
顯然當(dāng)P、Q、A三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+PA最小.
∵A(3,2)，可設(shè)P（x0,2)代入y2=2x得x0=2
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）.
(四)小結(jié)
1、拋物線的定義；
2、拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程；
3、注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的字母P的幾何意義.
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